理系の心　母心

メモ

昨日アニさん（id:kowagari）が出した問題についてもうちょっと考察してみる。
とりあえず準備。

Ａ，Ｂが数または数式であるとき、
○Ａ＋ＢとＢ＋Ａは同一の式とみなす。
○Ａ×ＢとＢ×Ａは同一の式とみなす。
○Ａ×ＢとＡ÷Ｂが一致するとき、即ちＢが１または１に等しい数式であるとき、これらを同一の式とみなす。

さらに演算記号に関する準備。

Ａ＾Ｂは「ＡのＢ乗」を表す。これは掛け算・割り算よりも演算の順序を優先される。
（例　：　３×２＾２＝１２　）
Ａ＾Ｂ＾Ｃと表記した場合、これはＡ＾（Ｂ＾Ｃ）を意味する。
（例　：　２＾１＾３＝２　）

「1199の四つの数字で10を作る」ことを考える際、もっとも単純な方法として「１と９を足し、あとはなんとかする」が思いつく。
まずこの「なんとかする」について考えてみることにする。
つまり、余った１と９に対し「意味のない演算」＝「数を変えることのない演算」の役目を与えればよい。
以下「意味のない演算」を列挙する。

Ａを変えない演算
○Ａ＋０
○Ａ×１
○Ａ＾１
○Ａ＾n　（Ａ＝１のときのみ。　nは任意の数）

これらをベースとなる「１＋９」に施すことを考える。まずは余った１を利用する。

１×１＋９
１＋９×１
（１＋９）×１
１＾１＋９
１＋９＾１
（１＋９）＾１

これらの式に含まれる「１」を９乗することで求める式が得られる。

【解】

  • １＾９×１＋９
  • （１×１）＾９＋９
  • １＾９＋９×１
  • １＋９×１＾９
  • （１＾９＋９）×１
  • （１＾９）＾１＋９
  • １＾１＾９＋９
  • １＾９＋９＾１
  • １＋９＾１＾９
  • （１＾９＋９）＾１
  • （１＋９）＾１＾９

次に「１＾ｎ＋９」形を考える。nは任意の数値でよいので、残った１と９を用いて得られるあらゆる数式を当てはめることができる。

【解】

  • １＾（１＋９）＋９
  • １＾（１−９）＋９
  • １＾（９−１）＋９
  • １＾（１×９）＋９
  • １＾（１÷９）＋９
  • １＾（９÷１）＋９
  • １＾９＾１＋９

最後に「Ａ＋９」式を考える。Ａは3つの数「119」を用いた数式であり、1に等しい。
このうち上に挙げたものと重複するものを除くと、以下が残る。

【解】

  • ９＾（１−１）＋９

これと、べき乗を用いない「（１÷９＋１）×１」をあわせて、以上２０通りが考えられる（他にもあるかも）。