寝る前に。

「1199を使ってでかい数作った奴が偉い」問題ですが、一応自分なりに答えを。
でもこれ「これが最大である」という証明してないんで、これ以上のものができる可能性はあります。と最初に断っておいてと。

僕の答え：　(1+1)^9^9

=　2^9^9
=　2^387420489

ええと、「 2 を 387420489 回かける」ってできるわけないので。
これがどれくらい大きな数なのか、たとえば書いたら何桁になるのかだけを書いて終わりにしたいと思います。
「log」を常用対数（10を底とする対数）とすれば、関数電卓使って、

log2 = 0.3010　（小数第4位で丸め）

であるから、2 = 10^0.3010　です。これを上の式にあてはめて、

2^387420489
= (10^0.3010)^387420489
= 10^(0.3010×387420489)
= 10^116613567.189

と。
つまり、

(1+1)^9^9　を計算すると、116613568桁の数になる。

らしいです。一億桁！